Bayangkan kamu melempar bola ke udara. Bola itu naik, mencapai titik tertinggi, lalu jatuh kembali ke tanah. Pernahkah kamu bertanya-tanya bagaimana cara menghitung ketinggian maksimum yang bisa dicapai bola? Atau, berapa lama waktu yang dibutuhkan bola untuk kembali ke tanah? Jawaban dari pertanyaan ini bisa ditemukan dengan menggunakan konsep fungsi kuadrat.
Apa Itu Fungsi Kuadrat?
Fungsi kuadrat adalah salah satu jenis fungsi dalam matematika yang memiliki bentuk umum sebagai berikut:
\(\displaystyle f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\)
Di sini:
- \(\displaystyle a, b, c\) adalah konstanta dengan \(\displaystyle a\neq 0\)
- \(\displaystyle x\) adalah variabel
Fungsi ini disebut “kuadrat” karena variabelnya memiliki pangkat tertinggi 2. Kalau kamu menggambarnya dalam grafik, bentuknya bakal berupa parabola.
Sifat-Sifat Fungsi Kuadrat
1. Parabola yang Menghadap Atas atau Bawah
Arah parabola tergantung dari nilai \(\displaystyle a\):
- Kalau \(\displaystyle a > 0\), parabola menghadap ke atas.
- Kalau \(\displaystyle a < 0\), parabola menghadap ke bawah.
2. Sumbu Simetri
Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membelah parabola menjadi dua bagian yang sama. Rumusnya:
\(\displaystyle x=\frac{-b}{2a}\)
3. Titik Puncak (Vertex)
Titik puncak adalah titik tertinggi (kalau parabola menghadap ke bawah) atau titik terendah (kalau menghadap ke atas). Rumus koordinatnya:
\(\displaystyle \left( \frac{-b}{2a}, f\left( \frac{-b}{2a} \right) \right)\)
Atau lebih simpel:
\(\displaystyle x_{p}=\frac{-b}{2a}\)
\(\displaystyle y_{p}=f(x_p)\)
4. Akar-Akar Fungsi Kuadrat
Akar-akar fungsi kuadrat adalah nilai \(\displaystyle x\) yang membuat fungsi bernilai nol. Bisa dicari pakai rumus kuadratik:
\(\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Di sini, \(\displaystyle b^2-4ac\) disebut diskriminan (\(\displaystyle D\)). Ada tiga kemungkinan:
- \(\displaystyle D > 0\): Ada dua akar real berbeda.
- \(\displaystyle D = 0\): Ada satu akar real kembar.
- \(\displaystyle D < 0\): Tidak ada akar real (akar imajiner).
Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola. Untuk menggambar parabola, kita butuh:
- Titik puncak (\(\displaystyle x_p, y_p\))
- Akar-akar (kalau ada)
- Sumbu simetri
- Titik potong dengan sumbu y, yaitu \(\displaystyle c\) (karena \(\displaystyle f(0)=c\))
Contoh: Misalkan kita punya fungsi \(\displaystyle f(x) = x^2 – 4x + 3\). Kita bisa cari:
- Akar-akar: \(\displaystyle (x-1)(x-3) = 0\), jadi \(\displaystyle x = 1\) dan \(\displaystyle x = 3\)
- Sumbu simetri: \(\displaystyle x = \frac{-(-4)}{2(1)} = 2\)
- Titik puncak: \(\displaystyle y_p = f(2) = (2)^2 – 4(2) + 3 = -1\), jadi titik puncaknya \(\displaystyle (2,-1)\)
- Titik potong dengan sumbu y: \(\displaystyle c = 3\)
Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
1. Faktorisasi
Metode ini bisa dipakai kalau persamaan kuadrat bisa difaktorkan. Contoh:
\(\displaystyle x^2 – 5x + 6 = 0\)
Bisa difaktorkan jadi:
\(\displaystyle (x-2)(x-3) = 0\)
Jadi akarnya \(\displaystyle x=2\) atau \(\displaystyle x=3\).
2. Rumus Kuadratik
Kalau nggak bisa difaktorkan, pakai rumus kuadratik:
\(\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Misal \(\displaystyle x^2 – 4x + 2 = 0\):
- \(\displaystyle a=1, b=-4, c=2\)
- Hitung \(\displaystyle D = (-4)^2 – 4(1)(2) = 16 – 8 = 8\)
- Akar-akarnya:
\(\displaystyle x=\frac{4\pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2} = 2\pm \sqrt{2}\)
Jadi akarnya \(\displaystyle x = 2+\sqrt{2}\) dan \(\displaystyle x = 2-\sqrt{2}\).
3. Melengkapkan Kuadrat
Metode ini mengubah bentuk fungsi menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Misal: \(\displaystyle x^2 – 6x + 5 = 0\)
Kita ubah jadi:
\(\displaystyle (x-3)^2 – 4 = 0\)
Lalu:
\(\displaystyle (x-3)^2 = 4\)
\(\displaystyle x-3 = \pm 2\)
\(\displaystyle x = 3 \pm 2\)
Jadi \(\displaystyle x=5\) atau \(\displaystyle x=1\).
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1: Menentukan Akar Persamaan Kuadrat
Diketahui persamaan \(\displaystyle x^2 – 7x + 10 = 0\). Tentukan akarnya!
Penyelesaian: Faktorkan:
\(\displaystyle (x-5)(x-2) = 0\)
Jadi, akar-akarnya \(\displaystyle x=5\) dan \(\displaystyle x=2\).
Soal 2: Mencari Titik Puncak
Diketahui fungsi kuadrat \(\displaystyle f(x) = -2x^2 + 8x – 3\). Tentukan titik puncaknya!
Penyelesaian: Gunakan rumus titik puncak:
\(\displaystyle x_p = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2(-2)} = 2\)
Hitung \(\displaystyle y_p\):
\(\displaystyle y_p = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) – 3 = -8 + 16 – 3 = 5\)
Jadi titik puncaknya \(\displaystyle (2,5)\)
Fungsi kuadrat itu penting banget buat dipahami karena sering muncul dalam berbagai konteks, mulai dari fisika sampai ekonomi. Bentuk umumnya \(\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c\) selalu menghasilkan parabola. Kamu bisa cari akar-akarnya dengan faktorisasi, rumus kuadratik, atau melengkapkan kuadrat. Selain itu, grafiknya bisa dianalisis lewat titik puncak, sumbu simetri, dan titik potong sumbu y. Semoga artikel ini membantu! 🚀
Tinggalkan komentar